Kurt Gödel und der Zauber des blinden Flecks

Wir waren auf dem Weg zum Bauernhof, wo wir fast jeden Tag unsere Milch holen. Meine sechsjährige Tochter, die es kaum erwarten kann, diesen Herbst in die Schule zu kommen, sagte unvermittelt: «Komisch, dass ich durch meine kleinen Augen so eine grosse Welt sehen kann! Und da ist doch meine Nase zwischen den Augen. Und ich sehe trotzdem kaum meine Nase und nur ein Bild und nicht zwei. Wie geht das?»

In der Schule wird sie lernen, dass ihr Gehirn die Informationen aus zwei Sehnerven in komplexen neuronalen Schaltkreisen zu einem einzigen Bild zusammenfügt. Sie wird erfahren, dass ihr Gehirn nach einem blitzschnellen Abgleich mit früheren Erfahrungen, die mit Lust- und Unlustempfindungen getränkt sind, eine subjektive «gefühlte» Wirklichkeit zimmert, diese aber meist als objektive Wirklichkeit deuten wird. 

Im Biologieunterricht wird sie lernen, dass wir in jedem Auge einen blinden Fleck haben, der dort ist, wo der Sehnerv durch unsere Netzhaut tritt. Und sie wird vermutlich auch anhand von einfachen Experimenten wie dem folgenden sich selbst überzeugen können, wie geschickt ihr Gehirn diese blinden Flecken übertüncht, so dass wir gar nicht merken, dass wir einen blinden Fleck in unserer visuellen Wahrnehmung der Welt haben.

Experiment "blinder Fleck":

Halten Sie Ihr linkes Auge geschlossen, während Sie mit dem rechten Auge den «Knopf» fokussieren, in dem «Fokus» geschrieben steht. Dann variieren Sie die Entfernung, bis der rechte Knopf mit der Aufschrift «blinder Fleck» verschwindet. Sie sehen jetzt jedoch keinesfalls ein schwarzes Loch, sondern der blinde Fleck wird ausgefüllt mit der Farbe und den Mustern der Umgebung – ein nützlicher Trick unseres Gehirns, um schwarze Löcher in unserem Wahrnehmungsfeld zu vermeiden und uns für unseren blinden Fleck blind zu machen. Es ist also eine doppelte Blindheit: Wir sehen an diesem Punkt nichts – UND wir wissen nicht, dass wir an diesem Punkt nichts sehen.

Ich hoffe, meine Tochter wird beim Lernen all dieser interessanten Dinge nicht ihr Staunen verlieren, mit dem sie auf dem Weg zum Bauern ausruft: "Komisch, dass ich durch meine kleinen Augen so eine grosse Welt sehen kann!" Denn wer nicht mehr zu staunen vermag, ruht sich vermutlich auf lieb gewonnenen Bildern und Vorstellungen der Welt und seiner Mitmenschen aus, (hinter-) fragt nicht mehr und wird Gefangener seiner eigenen Vorstellungen.

Das Phänomen des blinden Flecks beschränkt sich nicht auf unsere visuelle Wahrnehmung. Es ist ein grundsätzliches Phänomen, das auch unser Erkennen und Verstehen der Welt betrifft. Der blinde Fleck taucht unvermeidlich auch in unserer Wirklichkeitsauffassung auf – egal, mit welchen Inhalten sie gestrickt ist. Dass dies so ist, hat bereits im vorigen Jahrhundert ein Mensch bewiesen, der als einer der einflussreichsten Mathematiker des letzten Jahrhunderts gilt: Kurt Gödel¹. Muss man sich damit befassen? Muss man natürlich nicht, aber wenn man will, kann es einem jenes Staunen bescheren, das meiner Tochter so ein wunderschönes Leuchten in ihre Augen zaubert.

Auf Kurt Gödel bin ich vor etwa fünfzehn Jahren durch das Buch «Gödel, Escher, Bach»² von Douglas Hofstadter, einem amerikanischen Professor im Bereich der Computer- und Kognitionswissenschaft, aufmerksam geworden. Obwohl sein erstes Buch trotz seines anspruchsvollen Inhalts in den achtziger Jahren ein Weltbestseller wurde, ist Hofstadter enttäuscht darüber, dass eine zentrale Aussage offensichtlich nicht verstanden wurde. Vielleicht, weil sie zu sehr an den Grundfesten unserer Wirklichkeitskonstruktion rüttelt  und uns  den Boden unter unserem Verstand wegzuziehen droht.

In früheren Zeiten haben sich unsere Vorfahren wohl ähnlich bedroht gefühlt, als man sie mit Fakten vertraut machte, die bewiesen, dass die Erde keine Scheibe und schon gar nicht das Zentrum der Welt ist, sondern nur als ein kleiner Planet einen Stern umkreist, der wiederum nur einer unter Milliarden Sonnen in einer Galaxie ist – oder ist es gar ein Multiversum?

In diesem Essay stelle ich eine von zwei wesentlichen Kernaussagen seines neuesten Buches vor³ – die leicht verdaulichere der beiden:

Jede mentale Landkarte bzw. jedes Erklärungsmodell hat mindestens einen blinden Fleck und ist deshalb unvollständig. Dieser blinde Fleck ist durch nichts zu beseitigen. Sprich: Ungeachtet dessen, wie viel Mühe wir uns machen, die Welt umfassend und vollständig zu erklären - es bleibt immer eine Zone des nicht Begreifbaren, das die Landkarte nicht zu erfassen vermag. Diesen unumstößlichen Beweis hat Kurt Gödel geliefert. Und weil er gleichzeitig bewies, dass der Anspruch auf hundertprozentige Vollständigkeit und gleichzeitige Widerspruchsfreiheit eines jeden symbolischen Repräsentationssystems wie der Mathematik nicht erfüllbar ist, brachte Kurt Gödel zu seiner Zeit die Zunft der Mathematiker ziemlich aus dem Häuschen.

Ich würde Kurt Gödel hier nicht erwähnen, wenn ich nicht eine unmittelbare Bedeutung für unseren Umgang mit Erklärungsmodellen sehen würde, die wir tagtäglich anwenden, um zu erklären, was uns widerfährt, zum Beispiel das Verhalten unserer geliebten und weniger geliebten Mitmenschen. Nichts gegen Erklärungsmodelle per se – ich will nur ihren Anspruch auf Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit in Frage stellen und im folgenden nachvollziehbar machen, warum keines unserer Erklärungsmodelle wasserdicht ist und auch gar nicht sein kann.

Der Mensch hat verschiedene Sprachen - also symbolische Repräsentationssysteme - erfunden, um seine Erfahrungen zu bündeln, zu benennen, zu verstehen und zu kommunizieren. Die Sprache der Mathematik ist eine sehr hoch entwickelte formale Sprache und ermöglicht dem Menschen, Naturgesetze präzise zu formulieren und entsprechend Berechnungen vorzunehmen. So kann der Mensch die Naturkräfte für seine lauteren und unlauteren Zwecke nutzen - zum Beispiel um den Mond zu besuchen oder Atombomben, Computer und Autos zu bauen. Das Bestreben, die Welt symbolisch zu erfassen, kann grenzenlos sein und in den Wunsch münden, die Welt als Ganzes zu erfassen. Die Suche nach der Weltformel der Physiker ist ein Beispiel dafür.

Getrieben von solch einer Sehnsucht machten sich Anfang des letzten Jahrhunderts Bertrand Russell und Alfred Whitehead daran, für die Mathematik ein solides Fundament zu schaffen: ein formales System, mit dem sich jede wahre Aussage als wahr beweisen und jede falsche als falsch entlarven lässt. Sie träumten von einem vollständigen und zugleich widerspruchsfreien System.

Und dann kam Gödel, ein junger österreichischer Mathematiker, und bewies mit einem Geniestreich, dass genau dieses System zwar vieles wunderbar darstellen konnte, aber nicht ALLE Wahrheit als Wahrheit abbilden konnte. Er legte der staunenden Fachwelt eine Arbeit vor, in der er eine Aussage bewies, die heute als Gödels Unvollständigkeitssatz berühmt ist:

Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.

Was dieser wunderbar theoretisch klingende Satz konkret bedeutet, kann zum Beispiel mit folgendem Paradoxon veranschaulicht werden:

Der Barbier des Dorfes rasiert all denjenigen Männer, und nur denjenigen den Bart, die sich nicht selbst rasieren. Frage: rasiert sich der Barbier selbst?

Er kann's nur falsch machen⁴: Rasiert er sich nicht, gehört er zur Gruppe der Männer, die sich nicht selbst rasieren – und müsste sich also rasieren. Rasiert er sich, gehört er zur Gruppe, die sich selbst rasiert – und darf sich laut Regel nicht rasieren. Vollständigkeit erzeugt Widerspruch. Widerspruchsfreiheit erzeugt Unvollständigkeit.

Dem aufmerksamen Leser wird nicht entgangen sein, dass das ganze Problem erst durch die Rückbezüglichkeit entsteht – da, wo der Barbier sich selbst mit seinem Rasiermesser zuwenden muss.

Der Punkt ist: Wann immer wir dieser Rückbezüglichkeit begegnen, tut sich entweder ein blinder Fleck oder ein Abgrund an Widersprüchlichkeit auf. Egal, ob wir der Barbier sind oder behaupten, uns selbst ganz zu kennen. Zur Erinnerung: die Rückbezüglichkeit entsteht mit dem Anspruch auf Vollständigkeit⁵. Salopp formuliert: Wenn die Brille behauptet, alles sehen zu können, behauptet sie auch, sich selbst sehen zu können. Da habe ich meine Zweifel.

Die hatte Kurt Gödel auch und prüfte eine Annahme, die sich aus dem System von von Whitehead und Russell zwingend ergab: Wenn das System alles erfassen kannst, dann kann das System auch sich selbst erfassen.

Er wendete das von Russell und Whitehead erschaffene System auf sich selbst an – stellte also Rückbezüglichkeit her, ähnlich dem Spiegel im Spiegel – und konnte eindeutig zeigen, dass man auf diese Weise zu einer Aussage kommt, die von außen betrachtet wahr ist, innerhalb des Systems jedoch weder als wahr noch als falsch entscheidbar war. Kein noch so sorgsam ausgefeiltes System ist in der Lage, ALLES zu beschreiben. Eine Brille kann in noch so viele Richtungen schauen – es bleibt ein toter Winkel⁶, der mit ihr nicht gesehen werden kann.

Dies war ein ziemlicher Schlag für die damalige Fachwelt der Mathematik, hatte man doch bis dahin gehofft, eines Tages mit einem vollständigen und widerspruchsfreien Theoriegebäude aufwarten zu können. Den Beweis für die grundsätzliche Unvollständigkeit einer jeden Theorie haben wir dem Geniestreich des inzwischen legendären österreichischen Mathematikers Kurt Gödel, der als der bedeutendste Logiker des 20. Jahrhunderts gilt, zu verdanken.

Meine Tochter ist noch nicht alt genug, um verstehen zu können, wie es Gödel gelungen ist, die Grenzen menschlicher Erklärungsmodelle aufzuzeigen. Aber sie ist noch jung genug, ihr zutiefst menschliches Staunen unvermittelt zu empfinden und kund zu tun. Das ist für mich auch viel wichtiger und so hoffe ich, dass sie es niemals verlieren wird.

Ich habe diesem Essay den Titel «Kurt Gödel und der Zauber des blinden Flecks» gegeben, weil Gödel uns gezeigt hat, dass der unvermeidliche blinde Fleck eines jeden Erklärungsmodells das Tor zum nicht erfassten, nicht kartografierten Zauber unserer Welt ist. Ihr Zauber offenbart sich uns nur dann, wenn wir bereit sind, wie Albert Schweitzer zu erfahren, dass gerade im Unergründlichen das Leben auf uns wartet.

Im Kuhstall angekommen, füllen wir unsere Milch ab und schauen zu, wie sich eine vollautomatische Melkmaschine wie von Zauberhand geleitet an den Euter einer Kuh herantastet. Entgegen meiner bisherigen Vorstellung traben die Kühe sogar freiwillig und ohne menschliches Zutun vom Melkroboter. Ich habe es kaum glauben können, als meine Tochter mir davon nach ihrem ersten Besuch beim Bauern begeistert erzählte.

Ingo Heyn

August 2008

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 Fussnoten 

 

1. ↑ Kurt Friedrich Gödel (geboren am 28. April 1906 in Brünn (damals Österreich-Ungarn), gestorben am 14. Januar 1978 in Princeton, New Jersey). Er war Mathematiker und einer der bedeutendsten Logiker des 20. Jahrhunderts. (siehe auch: Wikipedia: Kurt Gödel )
    
2. ↑ Douglas Hofstadter, "Gödel, Escher, Bach", Klett-Cotta
   
    
3. ↑ Douglas Hofstadter, "Ich bin eine seltsame Schleife", Klett-Cotta
    
4. ↑ Wenn Kinder in solch eine Lage geraten, in der sie sich eigentlich nur noch falsch verhalten können, und ihnen gleichzeitig auch noch verboten wird, über den erlebten Widerspruch zu sprechen, laufen sie Gefahr, psychisch krank zu werden, da sie aufgrund ihrer starken Abhängigkeit von ihren Bezugspersonen sich diesen widersprüchlichen Botschaften nicht entziehen können. Sie sind in eine Falle geraten, die von Gregory Bateson erforscht wurde und als "Double Bind" bezeichnet hat: Egal wie ich?s mach , ich mach?s falsch, darf aber nicht darüber reden und auch nicht die Beziehung verlassen. Solch ein "Double Bind" ist eine Kommunikationsfalle, die im schlimmsten Fall einen psychotischen Schub auslösen kann und im besten Fall nicht glücklich macht
    
5. ↑ Die Grafiken, die ich in diesem Essay verwendet habe, sind für mich übrigens ein Beispiel dafür, dass Rückbezüglichkeit auch eine seltsame Schönheit hervorbringen kann. Wer sich dafür mehr interessiert, findet eine sehr gute und anschauliche Erläuterung der mathematischen Grundlagen unter http://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge. Erstellt habe ich die Grafiken mit dem Programm Ultra Fractal 5.0
    
6. ↑ Wer Interesse hat, den Beweis von Gödel im Detail nachzuvollziehen, dem empfehle ich die hervorragende Erläuterung in dem Buch "ich bin eine seltsame Schleife" von D. Hofstadter, Kapitel 10.